keywords: Pool PCR, Binary Search Algorithm
武漢肺炎的疫情目前在全世界大流行，累積感染人數隨著時間成指數性的爆炸成長令人不寒而慄。然而，在期望疫苗和解藥被開發之前，我們能做的就是盡可能的降低感染人數，暫緩疫情的擴張，同時避免僅存的醫療體系崩潰。對於疫情的擴張和感染人數的關係，我們先前已經有用簡單的數學模型描述了，今天我們針對武漢肺炎檢測的方法提供新的觀點。
為了有效控制疫情的擴張，除了降低不必要的接觸以外，最重要的是快速的篩檢出群體中已被感染的帶原者。這些帶原者在不知情的狀況下持續的進出公共場所，使得接觸者暴露在被感染的風險，使得疫情不斷擴散。因此，快速的檢測出感染者並從人群中隔離，成了控制疫情最關鍵的步驟。
但是受到醫療設備資源的限制(尤其是篩檢這種具有生物感染性的檢體，需要更謹慎小心的操作)，台灣目前每日的篩檢量大約只有5~6000件，尤其是對於疑似社區感染的民眾，只能利用居家隔離的方式來排除確診案例等等。因此，有效的提高檢驗的效率成了現在關切的目標。
因此德國十字會醫生…日前在歐洲醫療的網頁上提出Pool PCR這個概念，目前在德國運用的檢測方法，用來加速檢測的效率。
在了解如何使用Pool PCR，的檢測方法前，我們先來簡單的大略介紹目前標準的檢測方法：目前最常使用的檢測方法稱為核酸檢測，所檢測的核酸通常為檢體內的去氧核醣核酸(DNA)、或是*核醣核酸(RNA)，接下來我們以DNA來解釋
PCR (Polymerase chain reaction) 聚合酶連鎖反應
其原理是當專一性的引子(Primer)和目標核酸序列相互補時，病毒的DNA序列會被放大；反之若是檢體內沒有目標的核酸序列，則由於primer無序列可以互補，因此PCR反應不會進行。此外PCR過程十分的靈敏，只需極少量的模板股(目標核酸序列)，即可以被大量放大。最後待PCR反應結束以後，在利用凝膠電泳，去分離不同長度片段的DNA，來確認此次PCR為成功陽性(檢體內含有病毒)、或者是PCR失敗因性(檢體內不含有病毒)做判斷
因此簡單來說，PCR核酸檢驗的過程，只要檢體內混有病毒核酸就會呈現陽性，若是結果呈現是陰性級代表檢體內部含有病毒核酸。(假設理想情形，且實驗進行順利)
*註：武漢病毒屬於RNA病毒，因此在檢測過程中須經過反轉錄成cDNA再進行PCR，因此稱為rtPCR(reverse transcription-PCR, RT-PCR)，後續的過程就和一般的PCR相同
在了解PCR的過程以後我們現在就介紹Pool PCR吧!
Pool PCR
Pool 這個詞就是泳池的意思，也就是說在反應測試前，將多個樣本先混合後在一起測量(進行PCR反應測試)。接著測試以後，若是呈現陰性則代表所有的樣本都是陰性，即非感染者；反之若是呈現陽性則要將整個pool中的人群分別檢驗，以找出感染者。
舉例來說，假設平均1000人內大約有5位是感染者(即感染率0.5%)，若是我們要分別篩檢出這1000人來找出感染者，我們可以先把1000人隨機分成50組，也就是說每20個人一組。假設5位感染者平均分配在所有人之中，因此平均來說會有15組呈現全陰性，其他5組因為有感染者而呈現陽性，因此需要個別篩檢，因此總共要測量的次數即為 20 + 5 x 20=120次。
比起一個個測量的方式，需要1000次的測量節省了820次，可見Pool PCR，確實潛在著提高效率的可能性。
那麼我們現在的問題就變成，在平均多少的感染率下，我們應該選幾個人一組做一次篩檢呢?
因此我們現在針對這樣的問題做簡單的數學建模，來描述並解釋這樣的問題：
首先我們先假設整體的感染率為q，則整體群眾的健康率即為1-q=p，我們用p來代表健康率。而每次檢驗我們取N個人為一組進行篩檢，若是為陰性即代表此組N人皆為陰性不需要二篩；反之若是呈現陽性則代表此組N人內可能有感染者，需要進行二篩一個個檢驗。
若是考慮機率的情形：N個人皆為陰性即代表所有人都是健康的因此機率即為p^N，而陽性的機率即為全部減掉陰性的機率，1-p^N。
因此我們現在的檢驗次數期望值為一篩陰性的機率p^N乘上篩檢的次數1次加上一篩陽性的機率1-p^N乘上一篩和N個人分別二篩的次數，N+1。
因此檢驗次數期望值可以寫成以下式子
若是我們要跟一般的篩檢方法做比較，即N人篩檢N次，其期望值為N，並要求我們的Pool PCR method的期望值小於N
則
因此展開可以得到
同時我們令Np^N為一個factor，若是大於1即代表這樣S的p,N組合式符合效益的情形。
由於Np^N這樣的函數無法容易處理，因此我們這裡使用MATLAB直接幫我把這樣的函數畫出來。
可以看到是個右邊的是x軸，代表我們一篩的分組人數N，從1~20人；右邊的是y軸，代表我們整體的健康率分別從0到1，1即代表百分之百健康群眾；上面的z軸則代表我們所計算出來的Np^N Factor，一個我們用來判斷是否符合效益的指標，若是大於1則為符合效益。
Plot 出來的圖形就會呈現像這樣的一個曲面，不同(N,p)的點對應到個別的Factor，而我們現在關心的是在哪個區域的(N,p)符合效益呢?
因此我設定了顏色的 scale-bar，若是大於1的值為黃色，因此只要點落在黃色區域即為符合效益的地方，可以發現隨者整體健康度p越小，則一篩可測的人數也越小了。
由這個圖表可以發現，若是像義大利的疫情嚴重到幾乎篩檢約一半的人為感染者(~50%)，從圖表可以看到感染率50的狀態沒有黃色的區域，因此無論一篩人數如何改變都無法達到有效益的狀態，也就是說Pool PCR method 對於疫情爆發時沒有太大的效用。
結論
1. Pool PCR 的方法僅適用於尚未爆發群聚感染的狀態下所適用 (感染率即低的狀態下(<20%))
2. 善用次方法可以提高單位時間檢測數量，因此對於尋找位之社區感染源可能是可使用的方法
3. 本介紹只限學術討論用途，實際醫療檢測和政策執行仍需更縝密的評估
我也把內容用講解的方式拍成影片，有興趣的讀者可以看看
(其實內容根本文差不多)
後記
此文是有一天晚上我在PTT 看到網友分享了篇德國醫生提出提高檢測武漢肺炎方法的文章，覺得十分有趣，是個生活化的數學例子。此文一出隨後也引起網友們的討論，因此我簡單推導了mini pool 的數學model，並提出我的想法，歡迎各界朋友參與討論!