keyword: classical mechanics, ODE
原題為高雄中學段考考題，但是題目的答案似乎更有趣…
解
將兩個物體分別的受力寫成牛頓第二運動定律
由eq1 移項可以得到x2，進而微分得到x2之加速度 (relationship A)
由eq1 移項可以得到x2，進而微分得到x2之加速度 (relationship B)
將關係式A中x2以及x2之加速度帶入eq2
將關係式B中x1以及x1之加速度帶入eq1
因此可以質點m1以及m2位置隨時間的變化可以用eq3,4來描述，接下來我們解這個高階非齊次線性的微分方程式
先解齊次解Homogeneous solution
(因為eq3,4相同所以這邊的下標就省略了1或是2了)
設通解為
帶入微分方程式
解得
因此x_h 為這些解的線性組合(由於有重根，所以0的解要在多乘上t)
也可以整理成
現在來處理非齊次的解，由於是常數
因此由代定係數法我們可以假設
但是由於此解已經和homogeneous 相同，因此要在乘上一個t (xp'只是代表另外的 xp 非微分)
帶入微分方程式
因此特解x_p=t²
所以我們得到通解
如果你懶惰這一段可以完全使用wolfram幫你解決
現在剩下的工作就是把我們的initial condition 通通帶入以得到我們尚未決定的係數，我們所使用的initial condition 分別為x(0), x’(0), x’’(0), x’’’(0)，也就是4個方程式解4個未知數A、B、C、D
由我們從微分方程所得到的x(t)，依序做微分可以得到速度、加速度、三次微分等等
這邊我們先列下我們質點1以及質點2的initial condition
M1
M2
所使用的initial condition是假設m1放置在原點且無初速速，在0秒那一刻瞬間受到外力F1而產生加速度(60/8)；而質點m2是假設放在距離原點L處(L為靜止彈簧長度，無伸長狀態)，且速度為0，但受到外力F2而有初加速度(-40/2)
對於質點m1
我們依序使用x1’’’(0)、x1’’(0)、x1’(0)、x1(0)之條件代入上面等式中
因此將所有係數帶回x1(t)
同樣的作法我們得到
因此我們終於得到彈簧形變量的答案了，將x2-x1=deltax
因此形變量是個時間的函數，並不是個定值!
若是把x2 和 x1的位置放到動畫中去看，就會看到像這樣的結果
瞧是不是很像毛毛蟲在蠕動呢?
後記
此題原本為高中段考題，但似乎出題有些許瑕疵，我也不清楚老師和學生們最後怎麼處置這個題目。最後很高興能用力學解析和微分方程式解決這個問題，當中也複習了我的工數，使用上更加熟練了。以這個問題來說，高中是無法解出的，只能說這個系統比想像的更有料呢….
