keyword: Logic design, Karnaugh Map, LabView
今天來跟大家介紹七段顯示器(Seven-segment display)，這是一個生活中十分在熟悉不過的東西了。舉凡是手上的電子錶、各式各樣家電所使用的液晶顯示器、或者是在馬路上的紅綠燈倒數秒數顯示器，都是利用七個顯示位元來排列顯示羅馬數字0~9。
藉由分別控制七個顯示位元的明暗，我們就可以排列出不同的數字了，而不需要個別設計不同數字的燈號! 看似如此生活化且簡單的顯示器，但你可曾想過是透過什麼辦法才能達成這樣的控制呢?
因此現在的問題可以這樣描述：
在輸入一個數字後，如何”分別”且”自動”的控制七個燈分別的明暗呢?
最簡單的想法，我們可以利用記憶體，每次輸入一個數字後，呼叫其對應燈號開關的資料進行控制；然而在記憶體發展成熟前，這樣的方法可能過於複雜而難以實現。
為了解決這個問題，聰明的工程師們便利用邏輯閘的方式來控制這七個燈的開關與否。
邏輯閘
在電路學當中，訊號的儲存和傳遞只有分成兩種訊號，分別是高電位、以及低電位，就是常見的0或是1，二進位的概念。
而邏輯閘的功能就是輸入兩個訊號以後，經過計算(判斷)輸出一個新的訊號。常見的邏輯閘有「與」(And)，「或」閘(Or)，「非」閘(Not / Inventer)，「互斥或」閘（也稱：互斥或）等等
舉例來說，當A與B兩個訊號進入AND gate，只有在兩個訊號同時都是1時才會輸出1其餘都是0；當A與B兩個訊號進入OR gate，只要其中一個訊號是1時就會輸出1了。
相同的邏輯，搭配上反向器(Not / Inventer)，我們可以得到類似這樣的真值表(Truth table)，而這些邏輯閘可以透過多個場效電晶體(Field-Effect transistor or Bipolar junction transistor, FET, BJT)去實現這樣的邏輯判斷效果。(之後在寫篇文章介紹20世紀改變世界的發明,電晶體)
談了這麼多有關邏輯閘的事情，讀者一定會更困惑，為何我們談七個燈的控制怎麼又扯到邏輯閘呢?
首先，我們已經了解了燈的明暗其實就是電壓的開和關，這是輸出的部分；至於輸入的部分就是欲顯示的數字0~9等。而我們都知道所使用的十進位數字，其實可以轉換成二進位；因此只需要使用四個位元(每個位元可以示0或1)就可以表達數字0到9
而在七段顯示器當中，我們可以定義每個不同位置的燈號有各的編號分別從a~g。因此欲顯示不的數字就是開啟不同燈號。例如開啟燈號 a,b,g,e,d就可以得到 2。以下是簡單的表格，表示在不同時刻數字與對應明暗的燈號
因此我們現在的問題的就變成：
如何用二進位當中的四個訊號輸入( input)，去控制7種燈號(a~g)的明暗(output)?
在這裡我們所使用的，二進位的01在布林代數( Boolean Algebra)當中分別代表的就是真或後( Truth or false) ，因此我們可以用來設計邏輯閘來滿足我們的輸入和輸出結果。
舉例來說，我們以二進位的加法器為例子，首先我們觀察二進位的加法有以下的結果。( 在這裡，左邊的 input 分別有兩個，暫定為 A 和 B，而輸出的有第一位數、第二位數)
若是仔細觀察 input 兩者的關係，和每個位數 output 的關係，可以發現到對於二進位的個位數時，若是兩個 input 皆相同時(0,0 / 1,1)則個位數為0；若是兩者不相同時則個位數為1。而第二位數只有在 input 皆為1(1,1)時，才會輸出1；其餘為0。 以上的敘述為邏輯閘的二進位加法概念，因此我們可以設計邏輯閘來完成這樣的判斷(加法器)。
因此此邏輯電路可以這樣表達，對於個位數我們用互斥或閘( XOR gate)來判斷，而十位數就用及閘( AND gate)來判斷，如圖。
所以我們現在已經了解，利用邏輯閘可以幫我們建構出特定的 input 和output的關係，現在我們回到我們的七段顯示器問題。
如何用二進位當中的四個訊號輸入( input)，去控制7種燈號( a~g )的明暗(output)? 這個問題聽起來複雜了點，因為 input從兩個變成四個，output的量也變得更多了；但其實原理是相同的! 現在就來試試看吧!
在處理這種比較複雜的邏輯系統，我們可能無法像上個加法器的問題用”看的”就知道每個的邏輯閘該如何設計，因此我們比需引入一個表格幫助我們去建構邏輯閘系統，我們稱之為卡諾圖( Karnaugh Map)
卡諾圖 Karnaugh Map
由貝爾實驗室的電信工程師，莫里斯·卡諾（Maurice Karnaugh）在1953年發明的，用來建構真值表當中的邏輯閘。
不同 input 數量建構出不同大小的卡諾圖，可以是2x2、2x4、4x4等等，以十位數的加法器來說：
從這個圖表可以明顯看到十位數的 output出現1的時候只有在兩個 input同時皆為1的時候才會輸出1 ，因此十位是的 output就可以用 AND gate去表示。簡單來說，就是把輸入的訊號和所對應的結果放在這樣的棋盤格上，再去找交集的部分就可以得到所對應的邏輯閘!
如果了解卡諾圖的概念以後，我們現在就來解決我們的七段顯示器問題吧!首先我們在看一次我們的 input 和所對應的 output，下圖的左邊是所 input的四個位元，中間為對應的數字以及顯示的狀況，最右邊則是 output所要控制的七個燈號分別的狀態。(ex 0的狀態時，a~f的燈亮)
現在我們來看每個燈號所對應的卡諾圖，以燈號 a 為例子，卡諾圖的橫軸分別代表的是 AB、AB’、A’B’、A’B，以及縱軸的 CD、CD’、C’D’、C’D；接者在將 a 燈號所對應的狀況填到棋盤方格中，就可以得到類似下面的這張表格，至於空白的部份是我們這裡沒用到的訊號組合，可以暫且不管他的狀態。
在前面卡諾圖的範例中，我們知道卡諾圖就是在尋找交集的部分，在2x2的卡諾圖用一個交集就可以圈出結果，但是在4x4的卡諾圖，我們則需要的多個交集才能圈出所有 Truth (打勾)的狀態。而圈交集的方式就使以2x4、2x2、1x4的區塊去圈，聽到這裡讀者可能困惑是什麼意思，但只要仔細觀察下面同個色塊，你很快就會發現他們是代表特定的邏輯，舉例來說藍色的色塊代表的就是 A 的訊號( A’ 就沒有圈到了)，綠色的色塊代表的是C的訊號、黃色的區塊代表的是 AD’ ( A 和 D’ 的交集)，而紅色區塊代表的是 B 和 D的交集(BD)。因此最後的結果就是這幾個色塊所有的聯集(OR gate)
這裡我們用邏輯訊號的語法來寫
也就是說，我們利用 Truth Table 並利用卡諾圖來展現後，圈出我們的交集圈，最後再用聯集將所有的可能囊括起來，因此只要用 A+C+AD’+BD，就可以控制 a 燈號在不同訊號下的明暗了。
用相同的邏輯我們可以分別完成 b~g 剩下的六個燈號的邏輯閘
LabView 模擬
終於辛辛苦苦的完成我們每個燈號與四個訊號之間的邏輯關係了，現在我們就把所有的邏輯閘和訊號組裝起來，看看是不是真的能成功控制燈號呢?
這裡我們用 LabView 來實現我們的邏輯閘系統吧!
以上邏輯閘僅使用 AND gate 以及 OR gate，並將前面利用卡諾圖建構的邏輯閘系統以 LabView內建邏輯網狀圖繪出，最後在利用開關去演示控制的結果，以下影片是利用 LabView 模擬邏輯閘運算的結果，搭配七段顯示器的開關
由於七段顯示器在生活中十分常使用，為了方便使用這些邏輯閘系統們，工程師便透過 IC 設計各個 nMOS、 pMOS 的線路連接整合成一個簡單的晶片，方便工程師們使用在各式各樣的電器上了(就不用在重新組裝這些邏輯閘了!)
後記
二十世紀影響人類文明最偉大的科技發明無非就是電晶體了。電晶體的出現以及演進，除了製造出各式各樣的生活用品豐富人類的生活以外，電腦的出現也加速了各式基礎科學的發展，例如數學、物理化學、生物科學等等；當然也創造無數個工作機會能養活竹科的工程師們和無數個家庭。近期，崛起的量子運算(Quantum Computing)，使用了顛覆二進位的概念，更有望成為21世紀中人類科技跨向新紀元的一步。
看完這七段顯示器的電路設計原理以後，我們可以基礎的了解邏輯電路的概念，下次當你使用你的智慧型手機、電腦、甚至是超便宜的計算機、或是廚房中微波爐上的顯示器，請 ，以崇敬的眼神，敬佩聰明的工程師們，以及感謝二十世紀改變世界的發明，電晶體。
Reference
Class note and great picture from Wikipedia