Keywords : Geodesic, Euler equation, Calculus of variations
去年的時候，湊巧有機會可以去波士頓參訪，於是就買了張從桃園機場直飛舊金山再轉機到波士頓的機票。從台灣飛到舊金山橫跨整個太平洋大約要13小時的時間，在飛機上就是睡覺和玩一玩座位前的互動式螢幕。然而我對裡面的電影和遊戲不怎麼感興趣，吸引我目光的是螢幕上所提供的飛機所在的即時位置和前往美國的航線軌跡。
上面顯示了幾個讓我滿好奇的資訊，風速、飛機速度、飛行軌跡。這些數據馬上就引起了我的好奇心，究竟飛行當下的風速和速度以及軌跡是怎麼得到和計算的呢? 這些有趣的問題馬上就填滿正在太平洋上方的我。尤其是那條一點也不直的飛行軌跡，為何從台灣飛到舊金山不是沿著最短路徑的直線，而是一條圓弧的曲線呢?
下了飛機以後，這個問題還是一直困擾著我。後來看了其他航線的飛行軌跡，似乎其他的航班也不是以直線飛行，且都是沿著弧線的飛行方式。因此，今天就來向大家介紹一下飛機航行所使用的大圓航線吧!
大圓航線
連接球面上兩點最短的路徑所在的曲線
因為飛行的飛機是繞著地球這個球體在飛行，而非在平面的地圖上飛行 (除非是地平說?!)，也因此直線最短距離的原理在這裡就不適用了。那麼現在的問題就是，究竟是怎麼樣的軌跡曲線才能達到最短的距離呢?
這種經由函數關係積分得到極值 (極小值) 的問題，在物理中十分的常見，因為在物理當中許多現象皆是極大化的表現，例如：
- 熱力學中將熵 (Entropy) 極大化，使我們可以推導出配分函數 (Partition Function)
- 幾何光學費馬定理 (Fermat principle)，將光的路徑曲最短時間，使我們可以得到折射 (Refraction) 的現象
- 古典力學中的拉格朗日力學將 '' 作用量 (Action)'' 極小化推導出牛頓第二定律
可見許多物理現象就是不斷的取極值。其實想一想也挺合理的，一個物質有那麼多選擇，為何偏偏只被我們觀察到某個特定現象呢(其他看不到?)，物質在這個系統當中一定是受到某種限制之下，在某個物理量處在極端時才會被我們所觀察到，這就是物質的基本理論吧(物理)。
(這類的問題，在數學當中是非常著名的微分幾何問題
Euler–Lagrange equation
回到剛剛的問題，在古典力學當中解決這種函數積分取極值的問題最常使用的方法就是所謂的變分法 (Calculus of variations)，所推導出的 Euler equation 可以解決部分的極值問題。
Euler equation 所求的極值可以用一下數學式子描述
Eq.1 所表示的是物理量 J，是從起始點 x1 到 x2 沿著特定的路徑做 Path Integral (路徑積分)所得到的值
而在所有的路徑當中，一定會有一個特別的路徑所得到的 J 為極小值，因此我們假定他是 f(x)
於其他路徑所屬的函數我們就暫且用以下來表示
調變不同的 則有不同的路徑，且我們知道當 Path Integral有極小值
此外即便是任意路徑其頭尾仍受到端點限制 (x1, f(x1)) (x2, f(x2))
因此
為必要條件
再重述一次，我們現在的 J，變成了一個 的函數了
現在我們將 J 對 偏微分
則可以將偏微分作用於積分當中，並利用連鎖律
由 eq. 2 得知
則代入 eq. 5以後
其中上式積分中的第二項可以用分部積分處理
最後再利用 eq.3 當中的邊界條件
則
因此將 eq. 7帶回 eq.6 得到
因此在極值的條件下我們要求 ∂J/∂α=0，因此上式當中的積分內容為 0
再加上 η(x) 為一個任意函數的條件下，因此括弧內的值在極值出現時應為 0
Eq.8 即為著名的 Euler equation (Euler–Lagrange equation)
Second form of the Euler equation
若是所屬的函數 f 為一個 x 的函數則可以進一步推倒其引理
透過下面關係式
帶回 eq. 9
最後我們可以得到
此即為第二型式的 Euler equation，因此我們可以得到
推導完第二型式的尤拉公式以後，我們現在回到我們的問題吧！
在描述一次我們的問題：
在地球上的兩個城市，經由飛機繞行地球表面經過這兩個城市其飛行軌跡為何?
若用數學的說法則是：
在一固定半徑的球體上任意的兩點，兩點間在球面上最短的軌跡為何?
為了解決這個問題，我們將引入球座標系統 (Spherical coordination) ，因為比起使用卡式座標系統來說 (Cartesian coordinate)，球座標系統能有系統的利用三個變數 (r,θ,ϕ) 來描述球體中的任一點。
為了求在球體表面上的曲線長度
則先分別將 x,y,z 微分得到
代入後得到
將括號內的三個項分別展開
得到
經過計算即可以得到
因此我們的軌跡總長即為
因此軌跡的總長度就是一個 (θ,ϕ) 的函數，或是可以理解成飛機在不同經緯度移動的軌跡函數
而仔細觀察 eq. 10 可以發現此求極值問題就是 Euler equation 所求極值的形式 (eq .4)
而式 eq. 10 可以改寫成
在求極值的狀態下須滿足 Euler equation，這裡我們代入 Second Form of Euler equation
這裡寫成
set
而這個麻煩的積分稍微算一下吧 (攤手
Set
其中 β 和 c 皆為常數
為了詮釋這個關係式 我們將等式兩邊皆乘上rsinϕ 並將sin(θ-α) 展開
其中 c 為定值 因此 cosα sinα 唯一常數
因此我們可以寫成
括弧內即為極座標當中的 (x,y,z)
可見在這個球上面的軌跡被限制在一個平面上，因此最短軌跡即為此平面和球體表面相交的曲線
更進一步，一個平面可以由三個點來決定，其中兩個點分別為出發點和終點，第三個點即為滿足 eq1 當中(0,0,0) 的球心
可以點進去玩玩看動畫喔！
結論：
在球體上兩點間最短距離即是通過起始點和球心之平面與球體相交的曲線
更簡單的說法：因為任意平面和球體的交面為圓形，因此球體上的最短軌跡為起始兩點和圓心所形成的扇形弧長
最後用真的地球儀來看看飛機航線的效果吧！
可以發現確實大圓航線其弧常確實比較短
後記
高中的地理課在講地圖投影時，就曾聽過大圓航線的這個專有名詞；然而當時資質駑鈍的我仍然不解為何直線不是兩點之間的最短距離? 後來高二數學在學圓錐曲線的時候，也曾經想解決這個問題但是不久就放棄了。
沒想到這個問題會在我生命中以不同的方式衝擊我，看似簡單的問題最後卻需要藉由微分幾何得到答案和證明，也算是意外的收穫。
事實上變分法這個數學技巧也可以解決很多物理中的有趣問題，例如固定周長下多邊形最大面積是圓的問題，最速下降線 (Brachistochrone)、肥皂薄膜表面張力…，都是十分實用且好玩的結果。最後再查詢大圓航線或稱測地線(Geodesics)時，意外查到Geodesics in general relativity，原來在相對論當中受到重力場扭曲的時空會使得光線走最短路徑也是利用類似的原理呀！至於Geodesics在相對論當中又是一段很長很長的story了….
Reference
Classical Dynamics of Praticles and Systems 5th edition, Thornton, Marion
Chapter 6. Some methods in the Calculus of Variations (page 207~218)