Sink Rate Problem

Keywords : Bernoulli’s Law

昨天考量物前的晚上，正當我已經讀得焦頭爛額之際時，想說到家裡樓下的小七買瓶麥香奶茶休息一下。當我結完帳回到家準備開喝時，卻找不到早已和鋁箔包分離的吸管…。對一個明天要考期中考的考生來說，這真是衰到家的結果。

然而，難過完總是要喝到奶茶吧，我便找了個馬克杯想把鋁箔內的飲料倒出來享用。正當我把倒置的鋁箔包放在馬克杯之上，卻發現奶茶僅緩慢的流出….，使得我更加惱怒。但也讓我開始思考，這鋁箔包內的奶茶究竟要多久才流的完呢?

其實這只是個簡單的流體力學問題

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_principle

假設鋁箔包開孔大小為A1、高度為L、截面積為A2，液體高度為H、瓶內外的壓力分別為P和P0

從托力切里的實驗，我們知道一大氣壓的狀況下可以支撐76cm汞柱的液體，因此若是鋁箔包呈現的是封閉狀態，則液體幾乎不可能流出來。若是想要讓液體可以流出來的做法就是在鋁箔包的底部開另外個孔使得瓶內的壓力也是P0

從系統中的一些限制我們有以下方程式的關係式子

並有開孔得到瓶內壓力和外部相同的關係

還有白努力方程式的關係

最後我們還有液體高度的變化即為瓶內液面液體的流速v2

首先我們先將eq1 得到的 v1=v2(A2/A1)以及eq2得到的P2=P0代入eq3

因此最後代入eq4得到H隨時間變化的關係式

經過移項並把負號放到積分內改變上下限

最後我們來做簡單的數值估計吧!

假設我們鋁箔包的截面積 A2=24cm²、吸管洞的直徑是0.35截面積A1=0.35²*pi/4=0.096cm²

因此最後所需的時間為

最後我們來拿真的麥香奶茶做實驗看看吧!

可以發現測量出來的結果大約42秒左右，和理論值的37秒左右有些許落差，這可能來自於液體並非完全理想的流體，導致液體在經過吸管口的時候有紊流，或是液體的黏滯問題，這些都可能導致液體的流速變得更慢。但整體來說實驗的結果和理論的計算是十分的接近的。

後記

簡單的物理和數學推導，可以近似生活中所觀察到的現象呢，是不是很有趣?

Reference

簡易而精確的伯努力定律實驗, 台師大物理系, 賈至達等

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/95(286-295)/295-PDF/03.pdf