不久前我在 Twitter 上面看到一段有趣的影片，一位在南極研究大氣冰層的氣候科學家 Peter Neff ，發布了一段將冰塊丟入垂直深度 90m 的冰洞後發出令人嘖嘖稱奇的聲音 。
將冰塊丟入，發出像是星際大戰 Star War 配音中 “乒乒碰碰、pew~”
可以聽到冰塊丟下垂直的冰洞後以後，傳來清脆的碰撞聲，來自於下降冰塊和冰層撞擊聲，最後發出像射擊子彈的聲音。這個奇怪的現象馬上就引起許多網友的關注以及物理學家們的興趣，這個奇怪的聲音究竟是來自哪裡？
有趣的網友們提出了好笑的解釋，科學家故意丟下去的冰塊砸到住在冰洞底層的外星人，所以外星人用雷射槍射向洞口反擊啦！
好笑歸好笑，但事實上這個冰洞其實是氣候科學家為了取樣底層的冰塊所挖掘的。層積在底部幾千年前的積雪內溶有當時大氣中的化學成分 (甲烷、二氧化碳、氧氣等)，不同深度的冰塊內有不同年代的大氣成分，這些數據可以作為大氣科學家研究地球氣候變遷的直接工具。
此外經過搜尋，我也找到類似將物體垂直丟到水管狀後發出的撞擊聲的實驗。這段在 YouTube 上的影片是將石頭丟入廢棄的油井中 (Throwing stones in an abandoned oil shaft)，這支影片在2012/11/12上傳，至今僅僅十萬點閱。
仔細聽，石頭在管子當中碰撞後同樣的是發出類似子彈發射聲 pew~ 的聲音，然而此影片卻沒有引起太大的關注。但是我們可以更加確定，將冰塊丟入冰洞以及將石頭丟入油井所發出的這段聲音，必定是管子的結構以及和波傳動有關的物理。
排除了網友逗趣的發言以後，這個奇特的聲音究竟是怎麼來的呢？有趣的現象馬上就吸引了物理學家們的討論和分析(Rochester, Bocko 教授提出很棒的分析 註2)，令人驚奇的是這個怪異的聲音背後是一段有趣的物理故事。
為了分析這段奇怪的聲音，我將拍攝者 Peter Neff 所上傳的影片，下載下來並利用 Sonic Visualiser 軟體來分析。這個軟體可以用來分析聲音的頻譜，這是個非常典型分析聲音的工具。
Sonic Visualiser 這套軟體可以將聲音檔透過傅立葉轉換得到頻譜圖(聲紋圖、spectrogram)，就像電影裡犯罪調查分析人聲所使用的軟體。
頻譜圖
是可以把一段音訊每個瞬間拆解 成以不同頻率及震幅所疊加的 sin 波
例如左邊是某時間區間聲音的波型，利用傅立葉轉換 (Fourier Transform) 可以將這個混和波拆解成右邊三種不同震幅大小和頻率的 sin 波疊加。因此從聲譜圖當中我們就可以找到混合音當中分別得頻率和振福，可以進而分析此段音訊的音色，每個樂器或是人所發出的聲音有獨特的泛音等等。
以下是取了一段我喜歡的音樂(五月天/知足)，丟到 Sonic Visualiser 所分析出的聲譜圖：
在聲譜圖 (黃綠色) 當中，x 軸為時間軸、y 軸為頻率軸，而每個位置的顏色代表該位置 (time/frequency) 的振幅大小。在這個聲譜圖中混雜了人聲和樂器伴奏的聲音，都可以用聲譜圖將聲音分成不同的頻率來分析。
在了解聲譜圖的原理以後，我們可以把冰塊撞擊的奇怪音訊檔放到 Sonic Visualiser 中分析了。將檔案丟進去以後，我們得到這樣的 spectrogram，可以發現前半段為冰塊和牆壁撞擊聲以相同頻率等時間間隔出現(冰塊來回在冰壁間撞擊)。直到紅色箭頭時刻以後，出現了許多類似的下凹曲線，有點像 exponetial decay 後收斂在特定的頻率直到消失為止。
這個現象其實在物理學中就是所謂的 "聲波波導現象" (Acoustic Waveguide) 當中的"Dispersion Relation" (色散關係)
首先我先解釋什麼是聲波 (Acoustic Waveguide)
Acoustic wave
就是空氣分子受到撞擊(或是壓力)以後在原點附近做左右來回移動，並同時傳遞能量直到受器接受到空氣分子週期性的撞擊即為聲音。
接下來我們談波導 (Waveguide)
當波在自由的環境當中傳播時，其波的傳遞模式僅須滿足波方程式(Wave Equation)。但是當波在空腔當中傳遞時，會受到腔體的幾何形狀所限制，使得波在傳遞時受到邊界條件的影響。有了邊界條件限制下的波方程式，其波長、頻率都可能會受到限制(類似量子力學中的邊界條件影響波函數形狀)，而波所依循的限制及稱為波導(波被腔體所引導、傳遞的方向受到引導)。
此現象其時在電磁學當中也十分常見(Electromagnetic waveguide)、生活中所使用的傳輸線就是一種波導，在特定的幾何形狀中傳遞電磁波。
最後我們來講色散關係 (Dispersion Relation)
當波進入介質當中，不同頻率的波會有不同的波速。以光學來說，白光進入三稜鏡以後會產生色散現象。而在波導管當中，不同頻率的波會也不同的波速。在這個波導管當中，頻率高的波其波速較快，反之頻率低的波其波速較慢。
因此在這個冰洞所聽到類似子彈聲，其實就是當冰塊撞到底部以後產生不同頻率的波後；頻率較快的波線到達，接者聽到的就是頻率較低較慢的波。
已經確定目標後，我們就來依序定量分析 Acoustic wave、Wave guide以及Dispersion Relation 吧！
(1) Acoustic Wave
我們都知道電磁波 (Electromagnetic Wave) 可以利用四條 Maxwell Equation，推導出在普物當中在熟悉不過的波動方程式 (普物當中是用繩波推導) (固態物理當中也可以用鍵結分子推導…)
因此只要是 Wave，皆有類似以下的偏微分方程式的形式
但是我們所屬的空氣分子，並不是像繩波、鍵結的固態、或是受到 Maxwell equation支配的電磁場。因此我們這裡利用簡單的式子，證明一下 Acoustic wave 也是滿足波動方程式的
首先，我們的空氣分子之所以會加速並移動，是因為受到外力推擠(或者是壓力)
Therefore, according to Newton’s second law of motion (F=ma)
接著我們又知道在每處空氣分子每個瞬間的密度，和其位置通量有關(其實就是質量守恆定律)。每個位置的密度變化和該位置淨通量(net flux)有關
Mass conservation law (or continuity relation)
而空氣分子在空間中傳播時受到壓力的變化而擠壓和膨脹，此過程可以近似成絕熱過程 (Adiabatic Process)，因此我們可以從熱力學關係式得到一些等式
Adiabatic process
因次我們得到熱力學關係式
接著我們使用連鎖律並將熱力學關係式(1)帶入(b)
整理一下我們得到聲波的General equation 由壓力P、分子移動速率v、密度ρ時間的關係：
經過一點代數運算，將梯度 ∇ 作用在 (c)
將關係式(a), ∇P 代入
哇！有沒有發現我們竟然就這樣得到了Acoustic Wave Equation 呢!
更進一步的可以把(d)改寫成
其中
若是我們將在常溫中的一些參數代入
Using the identity of air in 300K
沒想到理論推導的聲速和實際的聲速十分接近！ 讚嘆物理
好啦，確定了聲波真的滿足波動方程式以後，我們接著來討論聲波在空腔中所形成的波導吧！
(2) Waveguide — PDE Solution
在分析波導時，因為我們感興趣的是波動方程式中當中的物理量(壓力、速度)和波的基本性質(頻率、角波數)的關係，而非物理量(壓力、速度)和時間的關係。
然而我們從 Acoustic Wave Equation 當中得到的資訊是壓力、速度和時間的關係
因此我們做一點改變，來了解波在空腔(波導管)中的情形
首先我們假設波動方程式中的速度u是一個位置和時間的函數，且時間函數會是個三角函數(波)
即
並帶入原本的波方程式
因此我們得到延伸方程式，稱作Helmholtz equation
或者寫成
有了這個方程式後，我們就可以有分子速度和所傳播的角波數關係
接下來我們來討論在圓柱管內的波導現象(因為我們的冰洞是個圓柱狀)，為了方便起見我們不在使用 (x, y, z)的卡氏座標(Cartesian coordinate system)，取而代之的是 (r, ϕ, z)圓柱座標(Cylinder coordinate system)
接著我們使用分離變數法來解這個 PDE
同乘 r²/ R(r)Φ(ϕ)
並設
此時假設
則 Φ(ϕ) 的解就是
此時 PDE 可以改寫成
此方程式即為以 R(r) 為變數的 Bessel Differential Equation，且當中的 R(r)解可以利用無窮多項式去計算得到，就是常見的Jv ( Bessel function of the first kind of order v )
因此將解的每個部分都代入得到
我們終於得到在圓柱坐標系統下U的解了，剩下的工作就是把這個系統當中所需要的邊界條件代入即可
(3) Waveguide — Boundary Condition
Now we’re going to apply the boundary condition of the cylinder
因此得到第一個條件，唯有在 k_ϕ是整數時才能成立
因此U可以更新成
其中三角函數兩項可以選定特定A,B 使得(和角公式)
最後(真的是最後了 >"< )
我們知道分子在牆壁的邊界時(r=a)速率為0 (分子不能穿牆出去吧)
因此P在邊界處的微分為0
因此
由於Bessel function 為特殊函數只能使用數值解 得到滿足條件的k_ca ,得到滿足邊界條件下振動頻率模式kc
上圖表示在v=0狀況下J'_0的第一個根是3.8317 , 第二個根 7.0156
v=1狀況下J'_1的第一個根是1.8142 , 第二個根5.3314
(4) Dispersion Relation
我們已經得到Bessel function 所對應的根及所代表其振動模式下的kc
由前式kc
其中 β 為 U 當中的 wave number
因此當 k<k_c 時 β 為虛數使得
隨著距離衰減，因此波無法傳遞，所以定義 k_c為截止 wave number , 小於 k_c不會傳遞。也可以進一步將 β 寫成與頻率的關係式：
最後我們可以得到不同模式下的截止頻率，各種頻率所對應的波速
此關係式即為在不同 mode 下，不同頻率所對應的不同波速關係 ( Dispersion relationship )。這個公式將可以用來解釋為何會聽到子彈 ~pew 的聲音，以及為何會在 spectrogram 中看到像指數衰減的樣子。
總結
1. Acoustic Wave
成功用牛頓第二運動定律和連續方程式搭配熱力學中的絕熱膨脹
推導出聲波的波動方程式2. Waveguide
首先把波動方程式改寫成Hemholtz eqation 以後，在求解圓柱座標下的
解，並發現是滿足Bessel Function。最後代入邊界條件得到有關截止頻
率的限制3. Disperstion Relation
使用 Group velocity 的微分公式，將波數對角頻率微分得到不同頻率和
群速的色散關係
Experiment Result and Waveguide Theorem
建立理論了那麼久，我們總該將我們的理論和實驗結果做些比較吧！
因此我們回到從冰塊影片分析得到的 spectrogram 圖進行分析，其中我們感興趣的是紅色圓圈部分的頻譜圖，為何會有混雜的高頻和低頻聲呢?
由前面的分析和理論推導，我們知道在同一個圓柱當中 (波導管當中)，波的傳遞可以有不同的 mode (其實就是在邊界條件的限制下，可以存在的波動形式)，且每一個 mode 有自己對應的截止頻率。此外，每個 mode傳遞下會有對應的色散關係 (和截止頻率有關)，導致不同頻率的波在傳遞的過程中會逐漸散開來 ( 波速快先到，波速慢晚到 )，就成了紅色圈內觀察到的現象！
Peter Neff 提供給我們的資訊：
洞口的深度約90m 、洞口的直徑約10.7吋 (0.272)，半徑(0.136m)
南極溫度 -25
那麼，我們就用前面建立的理論來計算這個冰洞波導管的截止頻率
利用 Fig.9 當中的 Figure 和 Table ，我們可以查到每個 mode 的根
舉例來說 (0,1)=3.8317 , (1,1)=1.8412 , (2,1)=3.0542 …
先來計算最低的頻率 (1,1) mode 的頻率：
利用關係式 (i)
在利用聲速和溫度的經驗關係
最後用頻率和波數的關係
我們得到最低的截止頻率 681Hz ！
透過類似的方法，我也把其他mode的截止頻率都一併算出來給各位參考
那我們現在來看 Spectrogram 給出來的數據
你覺得是巧合嗎？ 我不這麼認為 (您已收到來自光明會的訊息…)
你覺得是巧合嗎？ 我不這麼認為，這就是科學啊！
後記
這篇分析文主要是參照 Mark Bocko 教授所提出的波導概念進行的分析和補充文 (原文放在下方 Referncernce)，但是原文是英文版加上內容有點簡略，所以讀者讀起來會覺得似懂非懂，因此我尋找了資料在介紹這個有趣的現象時同時解釋專業的物理名詞同時搭配更輕鬆和詳細的方式解說。
此外，這個分析出來的結果令人十分震驚，原來這個看似怪異的生活現象其實和科學是如此的緊密連結。然而這個聲音色散的現象，其實在電磁學的波導管傳輸線理論 (Transmission Line Theorem) 已經被觀察過了(以前上課都聽不太懂 QQ )。雖然說後來我研究做的和電磁學跟傳輸理論比較無關，但是沒想到在我有生之年還會遇到他 😆
這份分析，我用了頻譜圖 (終於了解傅立葉轉換的功用了 😅)去分析，以及複習了我的工程數學、還有電磁學，最後完成這篇文章，希望各位會喜歡。(若是內容有誤或是問題，十分歡迎各位留言討論)
附註：
- 其實這個聲波的波導在電磁學中的波導管類似所謂的 TE mode，下圖的波可以理解成聲波的壓力傳遞。
- Fig 10 和 Fig 11 的凹口方向不一樣原因是因為 Fig 10 是速度和頻率作圖
Fig 11 是 頻率和時間作圖，所以把冰洞的深度除速度以後就可以把Fig 10 修改成 Fig 11，像這樣：
- 其實還有一部分分析前半段音訊，冰塊撞擊冰壁時的撞擊聲，隨著冰塊下降速度越快，會有 Doppler Effect，有興趣讀者可以試著自己分析，做出來的結果也是不錯的！
Reference
1. Mark Bocko 分析原文
https://www.rochester.edu/newscenter/why-does-ice-make-that-sound-314912/2. MIT 開放式課程 (電磁學)
https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-013-electromagnetics-and-applications-spring-2009/readings/MIT6_013S09_chap13.pdf3. Cylinder Hemholtz equation
https://www.nhn.ou.edu/~johnson/Education/Juniorlab/Microwave/CylindricalWaveguide.pdf4. Hemholtz equation Derivation
https://byjus.com/physics/helmholtz-equation/5. 實用的筆記
https://myweb.ntut.edu.tw/~juiching/EM%20Theory-2b.pdf6. Wiki 們
https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation