橋牌(Bridge)是一個從我高中就很喜歡跟同學們一起打的撲克牌遊戲，比起一般的卡牌遊戲運氣成分對勝負的結果影響很大，橋牌需要靠智慧和團隊策略來取得勝利。橋牌可以藉由叫牌來平衡運氣的不確定性，同時也有倒牌的機制，使得雙方的牌力較為靠近，遊戲也更加公平和趣味性。
在橋牌當中，總共有52張牌，其中A、K、Q、J這四張牌被作為衡量點力大小的牌種，分別對應了4、3、2、1點數，因此52張牌當中總共會有10*4=40點。橋牌在發牌的過程中會把52張牌均等的分給四個玩家，也因此每位玩家平均拿到的點數大小就是10點。
然而，當有些玩家運氣特別不好時，手牌的點數若是小於4點，即0~3點時，會導致兩隊的牌力相差懸殊，破壞遊戲平衡，因次可以倒牌重新發牌。也就是說，發牌過後若是其中有一位玩家的點力小於四點就必須重新發牌。而倒牌這種機制，其實對於玩橋牌的玩家來說不是件很特別或是少見的事情，大約每5~7局就會遇到一次。因此我們今天簡單的用排列組合的方式，來探討橋牌發牌當中倒牌的機率究竟為多少呢?
首先我們先簡單說明一下，在52張牌當中，點力牌共16張，且分別對應的點數為：J(1)、Q(2)、K(3)、A(4)，各有4張；而數字牌不具有點數、從2~10共有四種花色、因此共有36張。
現在考慮玩家拿到13張手牌以後、點數為0、1、2、3時所具有的點力牌情形
0點 ( 數字牌13 )
1點 ( J x 1 ,數字牌12 )
2點 ( Q x 1 ,數字牌12 ) 、( J x 2 ,數字牌11 )
3點 ( K x 1 ,數字牌12 )、( J x 1 , Q x 1 ,數字牌11 ) 、( J x 3 ,數字牌10 )
現在考慮將52張牌平均分給四位不同的玩家則所有組合數為
而出現0點的狀況為
因為是零點，所以從4位玩家選一位要倒牌的，再從那位玩家須從36張數字牌(不具點力)選13張牌、剩下的玩家則從剩餘的牌(有點力和數字牌)共39張分別分三堆
而出現1點的狀況為
出現一點的情形則須從4種花色的J選了一張，再從數字牌選12張，剩下的三位玩家再從39張牌分堆
而出現2點的狀況為(case1)
出現兩點的情形則和剛剛類似，只是從4中花色當中從選J改成選Q，再從數字牌當中選12張、其餘人一樣從39張牌分堆
而出現2點的狀況為(case2)
這種情形要從4張J當中選兩張J做組合，再從數字牌當中選11張、其餘人一樣從39張牌分堆
出現3點的狀況為(case1)
出現兩點的情形則和剛剛類似，只是從4中花色當中從選Q改成選K，再從數字牌當中選12張、其餘人一樣從39張牌分堆
出現3點的狀況為(case2)
這種情形要從4張J當中選1張J，以及從4張Q當中選1張Q，再從數字牌當中選11張、其餘人一樣從39張牌分堆
出現3點的狀況為(case3)
最後一種情形則是從4張J當中取3張J，再由數字牌當中選10張數字牌，其餘人則從39張牌分堆
因此我們最終就可以計算出，在一次橋牌的發牌過程中，有一位玩家小於四點須倒牌的機率為
最後再將這個算式丟到計算機算一下機率吧，可以得到：
也就是約每5場就會倒牌一次囉，是否和你的玩牌經驗相符呢? 記得下次跟朋友打牌的時候跟他分享這個有趣的冷知識吧！
後記
這個問題是前幾天跟朋友打橋牌聊天想到的題目，其實有關倒牌的機率很久以前就有想過了，但是沒有實際去計算過。我個人的遊戲經驗大概是4~5場下來就會出現一次倒牌，而這次計算的理論值結果也和生活中的經驗相近，各位讀者下次在玩牌的過程中，不妨仔細思考生活的經驗和數學的連結吧！