keywords: COR(Center of percussion), sweet spot, oscillation
Edited : 2020/10/11
最近MLB季後賽打得火熱，不時上演精彩的逆轉秀，還沒到最後一個出局數之前都還不知鹿死誰手呢。那在看精彩的球賽之餘，棒球背後也有有趣的科學原理，十分值得我們來分析和討論。上次我們已經討論過投球過程中變化球的原理了，今天我們就來聊聊球棒揮擊過程中的甜蜜點吧！
甜蜜點(sweet spot)這個名詞相信大家在各個地方多少都有聽過。不管是在棒球當中的球棒、或是網球、羽球中的球拍，都會有這個神祕的擊球區域，使得擊球的品質可以達到最高。球員們都會盡可能的利用球拍或是球棒當中的甜蜜點區域去擊球，使得反彈以後的球往往更快更具殺傷力，且選手在握把觸感受到的衝擊力最小、最舒適的情形。
那麼，甜蜜點的位置是如此的重要那它的位置究竟會在哪裡呢? 根據台灣棒球維基館的說法
甜蜜點指的是球棒最適合用來擊中球的位置，通常位於棒頭下方十公分左右的位置，會因為球棒材質以及形狀還有加工過程而有所差異，通常只要在甜蜜點附近的位置擊中球便可以有良好的擊球效果，不一定要真的完全命中甜蜜點。
內文提到，甜蜜點通常位於棒頭下方10cm處，但是還是會因為球棒的材質和形狀有所差異。
由這些球員實際體驗的情形和這些網路資料，我們似乎只能模糊的了解甜蜜點的位置。因此本文，我們試著以更仔細的物理來解析所謂的”球棒甜蜜點”究竟在哪裡吧!
A more detailed interpertation
事實上要討論球棒的撞擊過程，並不是一件簡單的事情，整個碰撞的過程其實比我們想像的複雜。從Discovery拍攝的高速攝影可以看到球棒和球接觸後，由於球棒並非完美的鋼體，球棒會產生震動，並伴隨者波在球棒中傳導，並在打者握棒處和棒頭中產生駐波。這是個真實的系統，但是在這個階段過於複雜而不易分析，因此我們接下來的分析先假設球棒為一個完美的鋼體，待分析出一個有條理的討論後，在下一篇文章會再接者討論非理想鋼體，駐波所產生的效應。
因此，已經做了最simple的假設以後，我們考慮一個剛體的球棒。從打者揮棒到和球接觸的過程，球會在擊球點產生撞擊進而在兩者間產生了動量的轉換，同時也對系統的質心產生力矩。那這些種種作用會對擊球員在握把觸產生怎麼樣的作用呢?
從剛體力學來說，我們知道一個鋼體在受到外力作用以後，系統中各個質點相對慣性座標的運動分析可以拆解成質心對地的相對速度加上質點對質心的相對速度，即
而質心對地的速度(v_ac_就是質心速度，質點對質心的速度(v_co)即為剛體轉動的速度。
有趣的是，若是球棒和球是在甜蜜點觸撞擊時，選手在握把觸的地方並不會感受到任何作用力，即為最舒服的擊球點， 而此點在物理學當中又成為”Center of percussion “
Center of percussion (撞擊中心)
那什麼是撞擊中心呢，它的位置又在球棒的何處呢? 首先我們先看看Wiki對他的說明吧！
The center of percussion is the point on an extended massive object attached to a pivot where a perpendicular impact will produce no reactive shock at the pivot.
The same point is called the center of oscillation for the object suspended from the pivot as a pendelumn, meaning that a simple pendulum with all its mass concentrated at that point will have the same period of oscillation as the compound pendulum.
首先在wiki當中先是提到了，球棒在握把處在撞擊以後不會受到任何的作用力。第二個部分，也提到這個神祕的點距離握把處的距離恰巧是擁有相同擺盪周期的單擺擺長！ 聽起來十分奇怪，一個形狀不是對稱的球棒，他的甜蜜點卻又和一個有相同周期的單擺有關，究竟是什麼原因呢? 以下我們就來作個簡單的推導就知道啦
首先我們先定義球棒中的三個位置，握把觸(O)、球棒的質心(C)、球棒的甜蜜點(P)，其中甜蜜點和握把的距離為L，而質心和握把的距離為d。而I_c為系統對C的轉動慣量。
接下來我們來開始簡單的分析當球撞及在P點處時，對於O點的作用力
According to Newton 2nd Law we can get the acceleration of the system after the collision
Moreover, we can get the torque acting on the center of mass of the system
Therefore, we can get the total acceleration of C related to the inertia system
The total acceleration equal 0, since we assume the force acting on the pivot is zero. After doing some algebra, we can get
Finally, we derive the length between sweet-point and pivot. Besides we can modify the numerator by parallel theorem, changing the moment of inertia from the center to pivot.
Besides, the period of a simple pendulum with a length L
This period is the same as the physical pendulum which pivot place in O
Therefore, we can claim that T_o=T_p , which confirm the description from wiki, “that a simple pendulum with all its mass concentrated at that point will have the same period of oscillation as the compound pendulum”
看完這段簡單的推導以後，不妨拿起球棒並測量它的自然擺盪週期，透過簡單的計算，就可以找到甜蜜點啦！
首先，先拿起球棒自由擺盪量測其週期為T
接者利用週期和擺長的周期公式
即可以計算得到甜蜜點距離球棒的距離了，是不是和生活的經驗相符呢?
補充資料：強迫震盪法
那這邊我也提供一個更簡單的測量方式，利用強迫震盪的原理，透過手帶動球棒慢慢找出球棒的自然週期，其原理也十分簡單
其解為
若是我們可以控制手的強迫震盪週期使得球棒擺盪震幅越來越大，類似共振的感覺，則有類似這樣震幅隨著擺盪增加的結果
當強迫震盪頻率約等於球棒自然頻率時
則震幅會持續增大，因此這也是個簡單快速測量自然週期的方法！
後記
那其實這樣對甜蜜點的描述還是不夠精確，因為我們這樣的模型和考慮是假設球棒是個完美剛體的情形，但實際上球棒在高速攝影機下可以看到球棒是會扭曲的，因此有更仔細的分析是要考慮撞擊後的駐波對支點的影響。不過依我的經驗來說，拿身邊的球棒做實驗所得到的結果，確實是可以透過這個簡單的實驗大致找到所謂的甜蜜點。總之，能把課本中的物理應用在生活是否覺得有趣呢？